こんにちは、StuTです。
今回は、いつも書いている子育て系の内容では無いですが、子供が見たいと言っていたポケモンの映画をPrime VideoからChromecastに連携するとこでハマってしまったので、その解決法を記しておきます（簡単な内容なので特に章立てもありません）。
基本的な対処法については、以下のサイトに詳しく記載されていますが、私の場合、このいずれでもなかったので、私のケースの解決法のみをここに記載しておきます。
Chromecastが接続できない！繋がらない時の解決方法いろいろ
結論を先にいうと、Prime Videoアプリのローカルネットワーク接続が許可されていない事が原因でした。
それによって、アプリ側で、Chromecastを識別できていない状態でした。
過去に何度もキャストできていたので、急にその設定が変わってしまったことの原因は謎のままですが、私の場合は、アプリ設定画面で、ローカルエリアネットワーク接続を有効化したら、すぐにキャストアイコンが出て、iPhoneから問題なく、Chromecastにキャストする事ができました。
iPhoneの「設定」アプリから、Prime Videoを選んで、「ローカルエリアネットワーク」をONにするだけでした（下図の通り）。
簡単ですが、問題解決のお役に立てましたら幸いです。